Wie klingt eine Funktion?

Periodische Funktionen sind ein tolles Modell für Töne. Töne sind nämlich physikalisch Schwingungen in der Luft, die sich mit den richtigen Funktionen sehr gut beschreiben lassen. Physikalisch ist die Unabhängige dabei immer die Zeit t. Math-Nodes kann dir aber auch Töne ausgeben, wenn du z.B. x als unabhängige Variable gewählt hast. In den folgenden Beispielen schauen wir uns Stück für Stück an, wie du mit Funktionen Töne erzeugen und in Tonhöhe und Klang verändern kannst.

1 Der erste Ton

Um in Math-Nodes einen Ton zu erzeugen, brauchst du mindestens 3 Karten: Eine Karte für die unabhängige Variable, eine Funktionsmaschine und die Audio-Karte. Die Sinusfunktion in diesem Beispiel schwingt 440 mal in der Sekunde hin und her, durchläuft also \(2 \pi\) für \(t = 1\) 440 mal. Der entstehende Ton hat also eine Frequenz von \(440\) Hz. Klicke in der Audio-Maschine auf Ton Ein/Aus, starte die Animation der unabhängigen Variable und schaue, ob du etwas hörst.

2 Der Einfluss von Parametern

Wenn du bis hier gekommen bist, hast du deinen ersten Ton erzeugt. Klasse! Hier dein erster Forschungsauftrag: Untersuche den Einfluss der Parameter \(a,b,c,d\) auf das, was du hörst, also deinen Höreindruck. Verändere dazu die Werte der Parameter an den entsprechenden Karten.

3 Maschinen verknüpfen und mit dem Graph-Modul analysieren

In dieser Aufgabe sollst du die Funktion \(f(t) = a \cdot \sin(b \cdot 2 \pi \cdot t)\) mit der Funktion \(g(f(t)) = (a \cdot \sin(b \cdot 2 \pi \cdot t))^2\) zunächst grafisch und dann auditiv vergleichen. Hast du eine Vermutung, welchen Einfluss auf den Klang die Funktion \(g\) hat? Wenn du dir die Funktionen anhören willst, musst du die Frequenz (Parameter \(b\)) erhöhen. Menschen können Töne erst ab ca \(50\) Hz überhaupt als Ton wahrnehmen. Wähle am besten eine Frequenz ab ca. \(300\) Hz.

4 Warum klingt es anders?

Die Sinusfunktionen \(f\) und \(g\) werden jeweils mit den Funktionen \(a\) und \(b\) moduliert. Stelle im Arbeitsheft Hypothesen auf, wie sich die Klänge von \(f\) und \(g\) unterscheiden. Überprüfe anschließend deine Hypothesen.

5 Wie klingt die Funktion?

Entwirf eine Verkabelung, die der Funktionsgleichung in der Gleichung-Karte entspricht.

Bevor du dir den Ton anhörst, stelle im Arbeitsheft zunächst Vermutungen zum Höreindruck und zum Verlauf des Graphen auf.

    6 Wort zu Ton

    Erstelle je eine Verkabelung, sodass der entstehende Ton (ab \(t=0\)) den folgenden Beschreibungen entspricht. Gib die Funktionsgleichungen im Arbeitsheft an.

    a) Der Ton beginnt leise und wird immer lauter.

    b) Die Tonhöhe des Tons schwankt periodisch leicht um den Kammerton A \(440\) Hz.

    c) Der Ton beginnt laut, wird dann leiser und nach einer gewissen Zeit wieder lauter. Außerdem soll der Ton stetig höher werden.

    d) Die Tonhöhe beginnt sehr hoch, wird sehr schnell tiefer, um dann immer langsamer anzusteigen und nahezu konstant zu bleiben.

    e) Der Ton beginnt bei \(t=0\) sehr laut, ist bei \(t=1\) nicht zu hören und wird danach immer langsamer lauter.

    7 Tonmodellierung

    a) Höre dir den Ton an und beschreibe im Arbeitsheft was du hörst. Achte auf Tonhöhe und Lautstärke. Was bleibt gleich? Was verändert sich?

    b) Wie könnte der zugehörige Graph aussehen? Skizziere im Arbeitsheft deine Idee. Nutze eine passende Achsenbeschriftung.

    c) Entwirf in Math-Nodes eine Verkabelung, die sich genauso anhört wie die untersuchte Audiodatei. Gib im Arbeitsheft die resultierende Funktionsgleichung inkl. der Parameter an.