Wie klingt eine Funktion?

Periodische Funktionen sind ein tolles Modell für Töne. Töne sind nämlich physikalisch Schwingungen in der Luft, die sich mit den richtigen Funktionen sehr gut beschreiben lassen. Physikalisch ist die Unabhängige dabei immer die Zeit t. Math-Nodes kann dir aber auch Töne ausgeben, wenn du z.B. x als unabhängige Variable gewählt hast. In den folgenden Beispielen schauen wir uns Stück für Stück an, wie du mit Funktionen Töne erzeugen und in Tonhöhe und Klang verändern kannst.

1 Der erste Ton

Um in Math-Nodes einen Ton zu erzeugen, brauchst du mindestens 3 Karten: Eine Karte für die unabhängige Variable, eine Funktionsmaschine und die Audio-Karte. Die Sinusfunktion in diesem Beispiel schwingt 440 mal in der Sekunde hin und her, durchläuft also \(2 \pi\) für \(t = 1\) 440 mal. Der entstehende Ton hat also eine Frequenz von \(440\) Hz. Klicke in der Audio-Maschine auf Ton Ein/Aus, starte die Animation der unabhängigen Variable und schaue, ob du etwas hörst.

2 Der Einfluss von Parametern

Wenn du bis hier gekommen bist, hast du deinen ersten Ton erzeugt. Klasse! Hier dein erster Forschungsauftrag: Untersuche den Einfluss der Parameter \(a,b,c,d\) auf das, was du hörst, also deinen Höreindruck. Verändere dazu die Werte der Parameter an den entsprechenden Karten. Was passiert bei negativen Werten?

3 Maschinen verknüpfen und mit dem Graph-Modul analysieren

In dieser Aufgabe sollst du die Funktion \(f(t) = a \cdot \sin(b \cdot 2 \pi \cdot t)\) mit der Funktion \(g(f(t)) = (a \cdot \sin(b \cdot 2 \pi \cdot t))^2\) zunächst grafisch und dann auditiv vergleichen. Hast du eine Vermutung, welchen Einfluss auf den Klang die Funktion \(g\) hat? Formuliere sie im Arbeitsheft. Höre dir dann die Funktionen an. Skizziere den Graph von \(g(f(t))\) im Arbeitsheft.

4 Die Klavierkarte

Zum Erstellen von Tönen gibt es eine neue Eingabekarte: das Klavier. Die Karte hat eine Klaviatur, die sich entweder mit der Maus oder über die Buchstaben A bis L auf der Tastatur steuern lässt.

Was passiert mit den Werten für \(f\) und \(t\) wenn du eine Taste für längere Zeit drückst? Beschreibe im Heft.

Vergleiche die Werte für f, wenn du A4 und A5 drückst.

Zusatzfrage: Was passiert, wenn du eine zweite Taste drückst, bevor du die erste losgelassen hast oder mehrere Tasten gleichzeitig drückst?

Ein Instrument bauen

Wenn du für den Parameter \(f\) verschiedene Frequenzen einstellst und die unabhängige Variable \(t\) animierst, kannst du Töne erzeugen, wie bei einem echten Instrument.

Um nicht jedes Mal neue Frequenzen einstellen und die unabhängige Variable \(t\) manuell animieren zu müssen, steht dir die Klavier-Karte zur Verfügung. Verbinde sie mit der Funktion \(g\), damit du verschiedene Töne spielen kannst.

5 Klavier oder Geige?

Ein Merkmal eines Instruments ist, wie die Lautstärke eines Tons sich nach dem Anschlagen verändert. Geigen beginnen z.B. leise und werden beim Streichen immer lauter. Ein gedämpftes Klavier hingegen beginnt laut und wird dann schnell leiser.

Versuche mit den gegebenen Maschinen den Lautstärkeverlauf deiner Töne zu verändern. In Teilaufgabe b kannst du dir eine Beispiellösung ansehen.

Funktionen wie \(g\) in Teilaufgabe b nennt man auch Hüllkurven. Kannst du dir vorstellen, warum?

    Tipp: Funktionen selbst eingeben

    In der nächsten Aufgabe erstellst du eigene Funktionsmaschinen. Dazu nutzt du die freie Eingabe. Hier ein paar wichtige Regeln:

    Funktionsname: Jede Funktion braucht einen Namen, z.B. \(k\) und eine Variable, z.B. \(t\). Schreibe dann: \(k(t) = ...\)

    Parameter: Du kannst weitere Parameter nutzen, z.B. \(k(t) = a \cdot t^2 + b\). Vergiss nicht die Malpunkte zu setzen!

    Besondere Funktionen: Wurzel = \textbackslash sqrt(), Betrag = \textbackslash abs()

    Anschlüsse: Die unabhängige Variable oben an der Maschine muss den gleichen Namen haben wie in deiner Funktion. Alle Parameter müssen angeschlossen sein.

    Klavier-Karte: Hat immer die Variable \(t\) und den Parameter \(f\) für die Tonhöhe.

    6 Wort zu Ton

    Erstelle je eine Verkabelung, sodass der entstehende Ton den folgenden Beschreibungen entspricht. Gib die Funktionsgleichungen im Arbeitsheft an.

    a) Der Ton beginnt leise und wird immer lauter.

    b) Der Ton beginnt laut, wird dann leiser und nach einer gewissen Zeit wieder lauter.

    c) Der Ton beginnt laut und wird immer leiser bis er nicht mehr zu hören ist. Gleichzeitig schwankt die Lautstärke periodisch.

    7 Klangfarbe

    Verschiedene Instrumente klingen unterschiedlich, auch wenn sie die gleiche Tonhöhe und Lautstärke haben. Das liegt daran, dass die Schwingungen der Instrumente sich zwar durch periodische Funktionen beschreiben lassen, diese aber keine reinen Sinusfunktionen sind.

    Eine Möglichkeit, solche komplexeren periodischen Funktionen zu erzeugen, ist es, eine Sinusfunktion mit anderen Funktionen zu verketten. Probiere die gegebenen Maschinen aus und beschreibe im Heft, wie sich der Klang unterscheidet. Nimm dabei auch Bezug auf den Graphen.

    8 Instrumentenwerkstatt

    Erstelle ein Instrument deiner Wahl. Variiere dabei die Klangfarbe und den Lautstärkeverlauf. Beschreibe im Heft den Klang deines Instruments und wie du ihn erzeugt hast. Skizziere deine Verkabelung und den Graphen eines Tons.