Mathematische Funktionen Verknüpfen und Verketten lernen
Funktionen als Maschinen
Eine mathematische Funktion kannst du dir vorstellen wie eine Maschine mit einem Eingang und einem Ausgang. Man gibt etwas in die Maschine hinein und erhält dann etwas am Ausgang der Maschine. Eine wichtige Eigenschaft von Funktionen ist dabei, dass immer das Gleiche am Ausgang herauskommt, wenn wir das Gleiche am Eingang einwerfen. Auf dieser Seite lernst du damit umzugehen.
Zu dieser Seite gehört das zweite Kapitel im Arbeitsheft. Dort sollst du deine Ergebnisse festhalten. Du kannst es hier herunterladen:
1 Von Wortmaschine zur Funktion
Funktionsmaschinen funktionieren auf die gleiche Weise wie die Wortmaschinen. Genau genommen sind die Wortmaschinen auch spezielle Funktionsmaschinen.
Auch hier gibt es eine Eingabe in Form einer unabhängigen Variable. Diese wird von einer oder mehreren Funktionsmaschinen verarbeitet und das Ergebnis mit Hilfe von verschiedenen Feedback-Maschinen angezeigt.
Probiere verschiedene Werte aus und beobachte, wie sich das Ergebnis verändert.
2 Funktionsmaschinen verketten
Genau wie bei den Wortmaschinen kannst du auch Funktionsmaschinen hintereinander schalten. Die Maschinen bilden dann gemeinsam eine neue Maschine, die deinen Wert in der verbundenen Reihenfolge verändert. Probiere verschiedene Kombinationen aus und notiere sie mit den Ergebnissen für die unabhängige Variable \(x=2\) im Arbeitsheft.
Bonusaufgabe:
Wie viele verschiedene Maschinen kannst du aus den 3 Funktionen bauen?
3 Ergebnisse anders darstellen
In Math-Nodes kannst du dir außer dem Wert zu einer unabhängigen Variable auch die Gleichung, den Graphen und sogar den Klang (Kapitel 4) einer Funktion ausgeben lassen. Dazu gibt es jeweils eine eigene Feedback-Maschine. Feedback-Maschinen sind immer blau.
Überlege zunächst wie der Graph und die Funktionsgleichung aussehen müssten und notiere deine Vermutungen im Arbeitsheft. Verbinde dann die Funktionen mit den verschiedenen Feedback-Maschinen und überprüfe deine Vermutungen.
4 Wo ist der Unterschied?
Hier sind zwei Funktionen in umgekehrter Reihenfolgen verkettet worden. Überlege wie die Funktionsgleichung der Verkettung lauten könnte und der Graph aussehen müsste und probiere dann aus.
Zeichne die Graphen und beschreibe worin sich unterscheiden und warum.
5 Funktionen verknüpfen
Du kannst zwei Funktionsmaschinen nicht nur verketten, sondern auch mittels einer Operationsmaschine mit den Operationen Addition, Multiplikation, usw. verknüpfen.
Im Arbeitsheft findest du ein zweites Beispiel. Gib dafür die Funktionsgleichung an. Wie könnte der Graph aussehen? Diskutiere mit der Person neben dir und skizziere dann den Graphen.
Beachte: Wenn du das Feedback als Gleichung anschließt, vereinfacht Math-Nodes die Funktionsterme nicht. Kannst du den Term noch vereinfachen?
Tipp:
In vielen Aufgaben in Math-Nodes ist die Struktur, in der verkettet und verknüpft wird, schon vorgegeben und du sollst die passenden Funktionen und Operationen auswählen.
Klickst du mit der rechten Maustaste oder am Tablet mit zwei Fingern auf eine Funktionsmaschine, werden dir ein paar Funktionen vorgeschlagen, mit denen du die Aufgabe lösen kannst. Die verschiedenen Operationen kannst du einfach in der Schaltfläche der Operationsmaschine auswählen.
Im Graph-Feedback siehst du nicht nur den Graph einer Funktion, sondern auch ein kleines Kreuz. Das ist der Funktionswert für den Wert der unabhängigen Variable.
6 Verknüpfen und Verketten
Wähle die Funktionen und die Operation so, dass du den angegebenen Funktionsterm erhältst. Notiere deine Lösung und skizziere den Graphen. Beschreibe, welchen Einfluss die einzelnen Maschinen auf den Graphen der Gesamtfunktion haben.
Verbinde Funktionsmaschinen zusätzlich einzeln mit dem Graphen. So kannst du den Graphen der resultierenden Gesamtfunktion mit den Teilfunktionen vergleichen.
7 Den Graphen treffen
Wähle die Funktionen und die Operation so, dass der weiße Graph entsteht. Notiere die Lösung und erkläutere dein Vorgehen.
Für b: Erläutere den Zusammenhang zwischen dem weißen und dem grünen Graphen.
8 Funktionenpuzzle
Verknüpfe und/oder verkette die Maschinen so, dass die weißen Graphen entstehen. Gib jeweils die zugehörige Funktionsgleichung im Arbeitsheft an.
Wenn du es richtig gelöst hast, ist keine Maschine übrig.
9 Graphenwirrwarr
Beschreibe für die verketteten Funktionen jeweils den Zusammenhang zwischen den einzelnen Graphen. Finde besondere Werte für die unabhängige Variable an denen du das Verhalten des Graphen erklären kannst.
Schau dir die Lösung für das erste Beispiel im Arbeitsheft an.