Funktionen als Maschinen

Eine mathematische Funktion kannst du dir vorstellen wie eine Maschine mit einem Eingang und einem Ausgang. Man gibt etwas in die Maschine hinein und erhält dann etwas am Ausgang der Maschine. Eine wichtige Eigenschaft von Funktionen ist dabei, dass immer das Gleiche am Ausgang herauskommt, wenn wir das Gleiche am Eingang einwerfen. Aus dem Kapitel Wortmaschinen weißt du, wie diese Eigenschaft heißt.

1 Von Wortmaschine zur Funktion

Funktionsmaschinen funktionieren auf die gleiche Weise wie die Wortmaschinen. Genau genommen sind die Wortmaschinen auch spezielle Funktionsmaschinen.

Auch hier gibt es eine Eingabe in Form einer gelben Karte für die unabhängige Variable. Diese wird von einer oder mehreren grünen Funktionsmaschinen verarbeitet und das Ergebnis mit Hilfe von verschiedenen blauen Feedback-Karten angezeigt.

Probiere verschiedene Eingaben an der unabhängigen Variablen aus und beobachte, wie sich die Ausgabe in der Wert-Karte verändert.

2 Funktionsmaschinen verketten

Genau wie bei den Wortmaschinen kannst du auch Funktionsmaschinen hintereinander schalten. Die Maschinen bilden dann gemeinsam eine neue Maschine, die deinen Wert in der verbundenen Reihenfolge verändert. Probiere verschiedene Kombinationen aus und notiere sie mit den Ergebnissen für die unabhängige Variable \(x=2\) im Arbeitsheft.

Bonusaufgabe: Wie viele verschiedene Maschinen kannst du aus den 3 Funktionsmaschinen bauen, wenn du immer alle Maschinen-Karten verwendest?

Andere Darstellungen der Ausgabe

In Math-Nodes kannst du dir außer dem Wert zu einer unabhängigen Variable auch die Gleichung, den Graphen und sogar den Klang (Kapitel 4) einer Funktionsmaschine ausgeben lassen. Dazu gibt es jeweils eine eigene Feedback-Karte. Feedback-Karten sind immer blau.

In der Graph-Karte siehst du nicht nur den Graph einer Funktion, sondern auch ein kleines Kreuz. Das ist der Funktionswert für den eingestellten Wert der unabhängigen Variable.

3 Wo ist der Unterschied?

Hier sind zwei Funktionsmaschinen in umgekehrter Reihenfolge verkettet worden. Überlege, wie die Funktionsgleichung der Verkettung lautet und der Graph aussehen müsste und probiere es dann aus.

Skizziere die Graphen und beschreibe, worin sie sich unterscheiden und warum.

    4 Funktionen verknüpfen

    Du kannst zwei Funktionsmaschinen nicht nur verketten, sondern auch mittels einer Operationsmaschine mit den Operationen Addition, Multiplikation, usw. verknüpfen.

    Im Arbeitsheft findest du ein zweites Beispiel. Gib dafür die Funktionsgleichung an. Wie könnte der Graph aussehen? Diskutiere mit der Person neben dir und skizziere dann den Graphen.

    Beachte: Wenn du die Gleichung-Karte anschließt, vereinfacht Math-Nodes die Funktionsterme nicht. Kannst du den Term noch ausmultiplizieren?

    Tipp: Funktionsmaschinen einstellen

    In vielen Aufgaben in Math-Nodes ist die Struktur, in der verkettet und verknüpft wird, schon vorgegeben und du sollst die passenden Funktions- und Operationsmaschinen auswählen.

    Klickst du mit der rechten Maustaste oder am Tablet mit zwei Fingern auf eine Funktionsmaschine, werden dir ein paar Funktionen vorgeschlagen, mit denen du die Aufgabe lösen kannst oder du kannst die freie Eingabe aktivieren.

    5 Verknüpfen und Verketten

    Wähle die Funktionen und die Operation so, dass du den angegebenen Funktionsterm in der Gleichung-Karte erhältst. Notiere deine Lösung und skizziere den Graphen. Beschreibe, welchen Einfluss die einzelnen Maschinen auf den Graphen der Gesamtfunktion haben.

    Verbinde Funktionsmaschinen zusätzlich einzeln mit der Graph-Karte. So kannst du den Graphen der resultierenden Gesamtfunktion mit den Teilfunktionen vergleichen.

      6 Den Graphen treffen

      Wähle die Funktionen und die Operation so, dass der weiße Graph entsteht. Notiere die Lösung und erläutere dein Vorgehen.

      Für b: Erläutere den Zusammenhang zwischen dem weißen und dem grünen Graphen.

        7 Funktionenpuzzle

        Verknüpfe und/oder verkette die Maschinen so, dass die weißen Graphen entstehen. Gib jeweils die zugehörige Funktionsgleichung im Arbeitsheft an.

        Wenn du es richtig gelöst hast, ist keine Karte übrig.

          8 Graphenwirrwarr

          Beschreibe den Zusammenhang zwischen den einzelnen Graphen. Finde besondere Werte für die unabhängige Variable, an denen du das Verhalten des Graphen erklären kannst.

          Schau dir die Lösung für das erste Beispiel im Arbeitsheft an.