Funktionsmaschinen für Fortgeschrittene
Funktionen als Maschinen
Hier findest du weiterführende Aufgaben zu den Funktionsmaschinen. Insbesondere neu dazukommen Parameter und die Idee der Modulation.
Zu dieser Seite gehört das dritte Kapitel im Arbeitsheft. Dort sollst du deine Ergebnisse festhalten. Du kannst es hier herunterladen:
1 Parameter
In Math-Nodes haben Funktionsmaschinen zusätzlich zur unabhängigen Variable noch weitere Eingänge. Dort kannst du Parameter anschließen, die du dann in der Funktionsmaschine verwenden kannst.
Solange der Name des Parameters mit dem in der Funktionsgleichung übereinstimmt, kannst du jeden der vier Parametereingänge nutzen.
Schließe den Parameter \(a\) aus dem Beispiel an die Funktionsmaschine an und verändere den eingestellten Wert. Beschreibe, wie sich der Graph der Funktion abhängig vom Parameterwert ändert.
2 Triff den Graphen
Im Graph-Feedback siehst du den Graphen einer quadratischen Funktion. Stelle die Parameter der Funktion \(f\) so ein, dass der Graph von \(f\) dem weißen entspricht. Gib die eingestellten Werte der Parameter im Arbeitsheft an und beschreibe, was die 3 Parameter jeweils am Graphen verändern.
Finde möglichst viele quadratische Funktionen/ Einstellungen für die Parameter, sodass \( f(1)=4\) ist. Skizziere 3 möglichst verschiedene Lösungen. Gib die Parameterwerte an.
3 Funktionenschar
Du hast eben gesehen, dass du Funktionen mit Parametern verändern kannst. Eine Funktionsgleichung mit den allgemeinen Parametern, z.B. \(f(x)=a\cdot x^2\), beschreibt dann alle möglichen konkreten Funktionen, die diese Form haben, z.B. \(f(x)=2\cdot x\). Wir nennen das dann eine Funktionenschar und verdeutlichen das, indem wir \(f_{a}(x)\) schreiben. In Math-Nodes kannst du dir einen Überblick über eine Funktionenschar verschaffen, indem du den Parameter animierst.
Besondere Funktionenscharen - sogenannte Bündel - sind solche, bei denen alle Funktionen der Schar durch mindestens einen bestimmten Punkt gehen. Finde solche Punkte, gib sie an und begründe, warum sich der Funktionswert dort unabhängig vom Parameterwert nicht ändert.
4 Modulation
Betrachte zunächst die Funktionen \(f\) und \(g\) im ersten Fenster. Welchen Einfluss auf den Graphen haben jeweils die Parameter \(a\) und \(b\)? Probiere aus und beschreibe im Arbeitsheft.
Die Funktionen \(f\) und \(g\) im zweiten Fenster sehen beinahe aus wie im ersten. Statt der Parameter sind hier aber Funktionen \(a\) und \(b\) an die Parametereingänge angeschlossen. Beschreibe den Verlauf der Graphen von \(f\) und \(g\) und den Einfluss der Funktionen \(a\) und \(b\) auf den Verlauf.
Kann dir dein Wissen zum Einfluss der Parameter helfen?
Tipp:
Parameter kannst du dir vorstellen wie Drehknöpfe, mit denen du an einer Funktion "rumschrauben" kannst. Du kannst dir Fragen stellen wie: "Was macht es mit der Funktion, wenn dieser Parameter sehr groß oder nahe null ist?"
Manchmal ist es hilfreich, sich Teile einer Funktion vorzustellen, als würden sie einen dieser Drehknöpfe ersetzen. Bei \(g(x)=sin(b(x)\cdot x)\) kannst du dir z.B. vorstellen, dass jemand den Drehknopf so bewegt, wie die angeschlossene Funktion \(b(x)\) verläuft. In diesem Beispiel wird der Knopf z.B. linear immer weiter hochgedreht. Wenn du weißt, was ein Parameter an der Stelle der Funktion \(g\) beeinflussen würde, weißt du auch, was die Funktion \(b\) dort macht.
8 Funktionenpuzzle
Verknüpfe und/oder verkette die Maschinen so, dass die weißen Graphen entstehen. Gib jeweils den zugehörigen Funktionsterm an. Wenn du es richtig gelöst hast, ist keine Maschine übrig.